(3-19)
مقدار پسماندهای تخمین پارامترهای، ، و از تخمین تفاضل مرتبه اول معادلهی (3-9) با روشOLS به دست میآید:
(3-20)
با در نظر گرفتن تفاضل مرتبه اول معادلهی (3-11) خواهیم داشت:
(3-21)
(3-22)
(3-23)
با کم کردن عوامل مشترک از سمت راست تابع در معادلهی (3-18) این معادله را به صورت زیر بازنویسی میکنیم:
(3-24)
زمانیکه وابستگی مقطعی وجود داشته باشد، معادلهی (3-24) با یک بار تفاضلگیری به صورت زیر تخمین زده میشود:
(3-25)
آمارهی LM برای به صورت زیر تعریف میشود:
(3-26)
(3-27)
در اینجا تعداد وقفههای تخمین کوواریانس است. نسبت t برای به صورت زیر محاسبه میشود:
(3-28)
در معادلهی فوق خطای استاندارد تخمین است.
میانگین آمارهی پانل LM به صورت زیر محاسبه میشود:
(3-29)
آمارهی Z برای بررسی فرضیههای و به صورت زیر تعریف میشود:
(3-30)
آمارهی Z دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ثابت است. آمارهی Z به دست آمده را با مقادیر بحرانی در این آماره که توسط وسترلاند و اجرتون محاسبه شده است مقایسه میکنیم، اگر آمارهی محاسبه شده از مقادیر بحرانی آن بیشتر باشد، فرضیه صفر پذیرفته نشده و متغیرها همجمع خواهند بود (وسترلاند و اجرتون، 2008: 673-668).
بعد از انجام آزمون همجمعی، چنانچه وجود همجمعی میان متغیرهای الگو مورد تأیید قرار گیرد مرحله بعدی فرآیند اقتصادسنجی، استخراج بردارهای همجمعی است.
هرچند روشهای متعددی برای بررسی رابطه همجمعی پانلی بین متغیرها پیشنهاد شده است، اما اغلب این روشها تنها در مورد وجود یا فقدان رابطه بحث میکنند و اطلاعاتی در خصوص بردار همجمعی ارائه نمیدهند. برای رفع این نقیصه، روشهای متعددی پیشنهاد شده است که روشهای تخمین حداقل مربعات اصلاح شده (FMOLS) و بروز رسانی مکرر و کاملاً تعدیل شده (CUP-FM) از آن جمله است (صمدی و سیدی، 1392: 76).
3-13-5- برآوردگر CUP-FM باي، کائو و ان‌جي^[206]
در بسياري از مطالعات گذشته (اعم از سري زماني و پانل) از روش‌هايي که به اريب درون‌زايي مقاوم مي‌باشند استفاده شده است. يکي از اين روش‌ها برآوردگر به‌طور کامل اصلاح شده‌ي فيليپس و هانسن (1990) (FM-OLS) است که از آن در تحليل‌هاي سري زماني و از شکل‌هاي توسعه‌يافته‌ي آن نظير FM-SUR و CUP-FM در تحليل‌هاي پانل استفاده شده است. لازم به ذکر است که در برآوردگر CUP-FM علاوه بر اريب درون‌زايي، اريب خودهمبستگي پياپي موجود در برآوردهاي OLS نيز اصلاح مي‌شود (فيليپس، 1995: 1023).
باي^[207] (2009) براي داده‌هاي پانلي که درآن‌ها مشکل وابستگي مقطعي وجود دارد برآوردگر CUP-FM را بر مبناي برآوردگر FM-OLS طراحي کرده‌اند. لذا برآوردگر CUP-FM همانند FM-OLS نسبت به اريب خودهمبستگي پياپي و اريب درون‌زايي مقاوم است. از ديگر خصوصيات اين برآوردگر مي‌توان به عدم حساسيت نسبت به مانايي و نامانايي متغيرهاي توضيحي اشاره کرد.
به منظور معرفي اين برآوردگر، ابتدا فرض مي‌کنيم يک الگوي پانل به شکل زير وجود داشته باشد:
(3-31)
که در آن y_it متغير وابسته،  مجموعه‌اي از k متغير توضيحي نامانا، β يک بردار k×1 بعدي از پارامترهاي شيب و e_it جمله‌ي اخلال رگرسيون است. برآوردگر حداقل مربعات تلفيقي^[208] براي بردار پارامترهاي β به صورت زير ارايه مي‌شود:
(3-32)
بر اساس تحليل فيليپس و هانسن (1990)، توزيع حدي اين برآوردگر به خاطر اريب به وجود آمده در اثر همبستگي درازمدت بين e_it و از صفر فاصله مي‌گيرد مگر در شرايطي که x_it به طور اکيد برون‌زا باشد. در اينجا مي‌توان به منظور دستيابي به سازگاري درازمدت و توزيع نرمال مجانبي، يک برآوردگر حداقل مربعات به طور کامل اصلاح شده‌را به روش فيليپس و هانسن (1990) براي داده‌هاي پانلي ارايه داد. از طرفي فرض استقلال مقطعي در مطالعات سري زماني اقتصادي، بسيار محدودکننده و به سختي قابل توجيه مي‌باشد. به منظور بررسي مسأله‌ي وابستگي مقطعي رابطه‌ي زير براي e_it ارايه مي‌شود:
(3-33)
که در آن F_t يک بردار r×1 بعدي از عامل‌هاي مشترک غيرقابل مشاهده،  يک بردار r×1 بعدي از وزن‌هاي عاملي^[209] و u_it خطاي فردي است (باي و همکاران، 2009: 83).
با در نظر گرفتن مسأله‌ي وابستگي مقطعي مي‌توان معادله‌ي رگرسيون (3-31) را به صورت زير بازنويسي کرد:
(3-34)
جدا کردن F_t از جزء اخلال و وارد کردن آن به تابع رگرسيون باعث بهبود تخمين‌ها ميشود. زيرا اگر بعضي از اجزاي x_it مانا بوده و F_t با x_it همبسته باشد، با در نظر گرفتن F_t به عنوان جزيي از جمله‌ي اخلال الگو برآورد β ناسازگار خواهد بود. (همان: 84). با توجه به مطالب فوق، برآوردگر CUP-FM که بدون هيچ پيش‌فرضي در خصوص مانايي يا نامانايي F_t، برآوردگري سازگار از بردار ضرايب معادله‌ي (3-34) ارايه مي‌کند، به صورت زير معرفي شده است:
(3-35)
(3-36)
در دو فرمول (3-35) و (3-36)،  عملگر ماتريس کواريانس يک‌طرفه، V_nt ماتريس قطری متشکل از r تا از بزرگترين مقادير ويژه ماتريس داخل کروشه است که به صورت کاهنده مرتب شده‌اند، و متغيرهاي x_i، F، y_i⁺ و u_i نماينده‌ي بردارهاي (3-37) هستند (همان: 85):
(3-37)
متغير η نيز جمله‌ي اخلال فرآيند خودتوضيح F_t مي‌باشد که با فرض نامانايي F_t به شکل معادله (3-38) معرفي شده است (همان: 84):