اختلاف آزمون ایم، پسران و شین (IPS) در معرفی آزمون ریشه واحد در دادههای ترکیبی نیز نقش به سزایی داشتهاند. در فرضیه این آزمون ها دارای ارزشهای متفاوتی هستند . به عبارتی دیگر ، فرضیات این آزمون به صورت زیر است:
به طوری که:
بر اساس این فرضیات، برخی از مقطعها میتوانند دارای ریشه واحد باشند. بنابراین، به جای انجام آزمون برای دادههای ترکیبی، از آزمون ریشه واحد به صورت جداگانه برای هر مقطع استفاده میشود و پس از آن میانگین این آمارهها به صورت محاسبه میشود. اگر نشاندهنده آماره برای آزمون ریشه واحد امین مقطع، با وقفه و ضرایب آزمون باشد، آماره استاندارد به صورت زیر تعریف میشود:
که در آن با افزایش و به سمت بینهایت، این آماره به سمت توزیع نرمال استاندارد میل میکند. به منظور ایجاد یک آماره استاندارد، ایم، پسران و شین ارزش های و این مقادیر را محاسبه کردهاند. هنگامی که به سمت بینهایت میل میکند، این ارزشها به آمارههای آزمون دیکی- فولر نزدیک میشوند.
به دلیل وجود خود همبستگی، پیشنهاد شده است که از دو روش کاربرد اندازه مجانبی میانگین و واریانس محاسبه شده استفاده شود و آماره استاندارد شده با استفاده از میانگین و واریانس تحت فرض به شکل زیر به کار گرفته شود:
پس از محاسبه این آماره، اگر مقدار آماره محاسبه شده از آماره جدول کوچکتر باشد، فرضیه ریشه واحد قابل رد شدن نیست.
علاوه بر آماره استاندارد، میتوان از آماره ضریب لاگرانژ (LM) نیز استفاده کرد:
که در آن عبارت از آماره ریشه واحد انفرادی برای آزمون فرضیه در برابر فرضیه است. مقادیر بحرانی نیز در جدول محاسبه شده است. همچنین استاندارد شده به صورت زیر است:
فرضیات آزمون IPS بر اساس همان فرضیات آزمون ریشه واحد معمول است . تفاوت در فرضیه است که بر اساس این فرضیه، بر خلاف آزمون LL فرض میشود که واحدهای مقطعی دارای ضرایب برابر نیستند. این آزمون بر اساس آماره استاندارد استوار است.
در رابطه فوق، آماره آزمون ریشه واحد IPS و متوسط آماره ADF برای هر مقطع است و به صورت زیر محاسبه میشود:
که در آن نمادهای و به ترتیب میانگین و واریانس برای محاسبه آماره آزمون IPS است که در جدولی تحت همین نام به وسیله ایم و دیگران در سال 1997 محاسبه شده است (بالتاجی، 2005).
3-4-10-2- آزمون لین و لوین (LL)
آزمون ریشه واحد سریهای زمانی، همانطور که قبلاَ بحث شد. پایایی یا ناپایی متغیرها را با استفاده از یک معادله بررسی میکند. لین و لوین (LL) نشان دادند که در دادههای ترکیبی استفاده از آزمون ریشه واحد مربوط به دادهها دارای قدرت آزمون بیشتری نسبت به استفاده از آزمون ریشه واحد برای هر مقطع به طور جداگانه است. وو (1996) ، اوه (1996) ، مک دونالد(1996) و فرانکل و روزی (1996) با مثالهایی در تحقیقان خود نشان دادند که به کارگیری آزمونهای ریشه واحد متداول در دادههای ترکیبی مانند آزمون دیکی- فولر، دیکی-فولر تعمیمیافته و آزمون فیلیپس-پرون دارای قدرت آماری پایینی نسبت به آزمونهای ریشه واحد دادههای ترکیبی هستند. لین و لوین (1992) تست ریشه واحد را به صورت زیر نشان داده است:
که در آن N تعداد مقطعها، T دوره زمانی، پارامتر خودهمبسته برای هر مقطع اثر زمان، ضریب ثابت برای هر مقطع و جمله اخلال مدل که دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است.
این آزمون براساس آزمون ADF به صورت زیر در نظر گرفته شده است:
که در آن، پارامتر خودهمبسته برای هر مقطع، li طول وقفه، اثر زمان، ضریب ثابت برای هر مقطع و جمله اخلال مدل که دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است. آزمون لین و لوین، آزمون ترکیبی آزمون ADF با روند زمانی است که در ناهمگنی مقطعها و ناهمسانی واریانس جملات خطا دارای قدرت بالایی است.
فرضیات این آزمون به صورت زیر است:
در این فرضیات هر چه T و N بزرگتر شوند، آماره آزمون به سمت توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس یک میل خواهند کرد.